Bloom Filter概念和原理 | Civilization Museum

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集合表示和元素查询

下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合的。初始状态时，Bloom Filter是一个包含位的位数组，每一位都置为0。

为了表达这样一个n个元素的集合，Bloom Filter使用个相互独立的哈希函数（Hash Function），它们分别将集合中的每个元素映射到的范围中。对任意一个元素，第个哈希函数映射的位置就会被置为。注意，如果一个位置多次被置为 1，那么只有第一次会起作用，后面几次将没有任何效果。在下图中，，且有两个哈希函数选中同一个位置（从左边数第五位）。

在判断是否属于这个集合时，我们对应用k次哈希函数，如果所有的位置都是，那么我们就认为是集合中的元素，否则就认为不是集合中的元素。下图中就不是集合中的元素。或者属于这个集合，或者刚好是一个false positive。

错误率

前面我们已经提到了，Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率（false positive rate），下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型，我们假设kn<m且各个哈希函数是完全随机的。当集合的所有元素都被个哈希函数映射到m位的位数组中时，这个位数组中某一位还是0的概率是：

其中表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机的），表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把完全映射到位数组中，需要做次哈希。某一位还是意味着次哈希都没有选中它，因此这个概率就是的次方。令是为了简化运算，这里用到了计算时常用的近似：

令为位数组中0的比例，则的数学期望。在已知的情况下，要求的错误率（false positive rate）为：

为位数组中1的比例，就表示k次哈希都刚好选中1的区域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了，现在来看第一步近似。只是的数学期望，在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明[2] ，位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分别将和代入上式中，得：

相比和，使用和通常在分析中更为方便。

最优的哈希函数个数

既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大；但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

先用和进行计算。注意到，我们令，只要让取到最小，自然也取到最小。由于，我们可以将写成

根据对称性法则可以很容易看出当，也就是时，取得最小值。在这种情况下，最小错误率等于。另外，注意到p是位数组中某一位仍是的概率，所以对应着位数组中和各一半。换句话说，要想保持错误率低，最好让位数组有一半还空着。

需要强调的一点是，时错误率最小这个结果并不依赖于近似值和。同样对于，，，我们可以将写成

同样根据对称性法则可以得到当时，取得最小值。

位数组的大小

下面我们来看看，在不超过一定错误率的情况下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意个元素的集合。假设全集中共有个元素，允许的最大错误率为，下面我们来求位数组的位数。

假设为全集中任取个元素的集合，是表示的位数组。那么对于集合中任意一个元素，在中查询都能得到肯定的结果，即能够接受。显然，由于Bloom Filter引入了错误，能够接受的不仅仅是中的元素，它还能够个false positive。因此，对于一个确定的位数组来说，它能够接受总共个元素。在个元素中，真正表示的只有其中个，所以一个确定的位数组可以表示

个集合。位的位数组共有个不同的组合，进而可以推出，位的位数组可以表示

个集合。全集中个元素的集合总共有

个，因此要让位的位数组能够表示所有个元素的集合，必须有\

即：

上式中的近似前提是和相比很小，这也是实际情况中常常发生的。根据上式，我们得出结论：在错误率不大于的情况下，至少要等于才能表示任意n个元素的集合。

上一小节中我们曾算出当时错误率最小，这时。现在令，可以推出

这个结果比前面我们算得的下界大了倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过，至少需要取到最小值的1.44倍。